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\documentclass[12pt,t,aspectratio=169,mathserif]{beamer}
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\begin{document}

\title{高等代数一}
\subtitle{17-子空间的概念-子空间的交与和}
%\institute{上海立信会计金融学院}
\author{{\ppr LQW}}
%\renewcommand{\today}{{\ppr \number\year \,年 \number\month \,月 \number\day \,日} }
\date{{\ppr 2022年11月17日} }

\maketitle

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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{内容提要 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item 子空间的概念
\item 子空间的例子
\item 两个子空间的交子空间
\item 两个子空间的和子空间
\end{enumerate}

\end{frame}


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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.1. 向量子空间的概念}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  {\color{red}定义：设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个向量空间。设 $W$ 是 $V$ 的一个子集。若 $W$ 在 $V$ 的加法与数乘运算下也成为 $F$ 上的一个向量空间，则称 $W$ 是 $V$ 的一个向量子空间，简称子空间。} 

\item  问题：如何判断向量空间的一个子集是否为子空间？

\item  {\color{red}定理：设 $V$ 是数域 $F$ 上的一个向量空间。设 $W$ 是 $V$ 的一个子集。如果下述三个条件成立，那么 $W$ 是 $V$ 的一个向量子空间。}
\begin{enumerate}
\item  {\color{red}子集 $W$ 不是空集。}
\item  {\color{red}对任意 $\alpha,\beta\in W$, 有 $\alpha+\beta\in W$. }
\item  {\color{red}对任意 $k\in F$, $\alpha\in W$, 有 $k\alpha\in W$. }
\end{enumerate}

\item  注：这个定理表明，无需重复验证向量空间的八条公理。

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.2. 验证八条公理自动成立 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}
\item[A1.]  对任意 $\alpha,\beta\in W$, 有 $\alpha+\beta=\beta+\alpha$. 
\item[A2.]  对任意 $\alpha,\beta,\gamma\in W$, 有 $(\alpha+\beta)+\gamma=\alpha+(\beta+\gamma)$. 
\item[A3.]  {\color{red}存在 $\theta\in W$, 使得对任意 $\alpha\in W$, 有 $\theta+\alpha=\alpha$. }
\item[A4.]  {\color{red}对任意 $\alpha\in W$, 存在 $\xi\in W$ 使得 $\xi+\alpha=\theta$. }
\item[A5.]  对任意 $\alpha,\beta\in W$ 与 $k\in F$, 有 $k(\alpha+\beta)=k\alpha+k\beta$. 
\item[A6.]  对任意 $\alpha\in W$ 与 $k,m\in F$, 有 $(k+m)\alpha=k\alpha+m\alpha$. 
\item[A7.]  对任意 $\alpha\in W$ 与 $k,m\in F$, 有 $(km)\alpha=k(m\alpha)$. 
\item[A8.]  对任意 $\alpha\in W$, 有 $1\alpha=\alpha$. 
\end{enumerate}

\end{frame}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.3. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item  例子1：{\color{red}零子空间} $W=\{\theta\}\subseteq V$, 只含有 $V$ 的零向量的子集。
\item  验证：
\begin{enumerate}
\item  因为 $W$ 有元素 $\theta$, 所以不是空集。
\item  有 $\theta+\theta = \theta \in W$. 
\item  对任意 $k\in F$, 根据基本性质 P4, 有 $k\theta=\theta\in W$. 
\end{enumerate}

\item 例子2：{\color{red}全子空间} $W=V \subseteq V$, 含有 $V$ 的所有向量的子集。
\item  验证：根据题设，$V$ 就是一个向量空间。


\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.4. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子3：{\color{red}齐次线性方程组的解空间}是列向量空间的子空间，
\begin{eqnarray*} 
W=\{X\in\mathbb{R}^n \mid AX=0 \}.  
\end{eqnarray*}
这里 $A$ 是一个 $m\times n$ 阶的实数矩阵， $X$ 是由未知数组成的 $n$ 维列向量，$0$ 是由零组成的 $m$ 维列向量。

\item  验证：

\begin{enumerate}
\item  子集 $W$ 不是空集，这是因为零向量总是 $AX=0$ 的解向量。
\item  设 $\alpha,\beta\in W$. 则 $A\alpha=0, A\beta=0$. 故 $A(\alpha+\beta)=0$. 故 $\alpha+\beta\in W$. 
\item  设 $k\in F$, $\alpha\in W$. 则 $A\alpha=0$. 故 $A(k\alpha)=0$. 故 $k\alpha\in W$. 
\end{enumerate}

\item  注：这是向量子空间的最常见的例子。

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.5. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子4：下述集合 $S$ 是立体空间 $\mathbb{R}^3$ 的一个子空间，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*} 
S= \left\{ \begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix} \in\mathbb{R}^3 \,:\, 
\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} x_1\\ x_2 \\ x_3\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\right\}.
\end{eqnarray*}
}
\item  验证：这是例子3的一个特例。

\item  注：对系数矩阵的秩进行讨论，可得
\begin{enumerate}
\item  当 $R(A)=2$ 时，$S$ 是立体空间中的一条直线。
\item  当 $R(A)=1$ 时，$S$ 是立体空间中的一个平面。
\item  当 $R(A)=0$ 时，$S$ 是立体空间本身。
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.6. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子5：实数行向量空间 $\mathbb{R}^n$ 的子集 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
W = \{ (x_1, x_2, \cdots, x_{n-1}, 0) \mid x_1,x_2,\cdots,x_{n-1}\in\mathbb{R}  \}
\end{eqnarray*}
}
是一个向量子空间。 

\item  验证：这也是例子3的一个特例。其中系数矩阵为 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
A=\begin{bmatrix} 0&0&\cdots &0&1 \end{bmatrix}. 
\end{eqnarray*}
}
即线性方程组 $AX=0$ 只有一个方程 $x_n=0$. 

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.7. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子6：给定正整数 $n$, 次数不超过 $n$ 的实系数多项式全体 
\begin{eqnarray*}
 W=\mathbb{R}[x]_n = \left\{ f(x)=a_0+a_1x+\cdots+a_nx^n \mid a_0,a_1,\cdots,a_{n}\in\mathbb{R}  \right\}
\end{eqnarray*}
是实系数多项式全体组成的向量空间 $V=\mathbb{R}[x]$ 的向量子空间。

\item  验证：

\begin{enumerate}
\item  子集 $W$ 不是空集。
\item  对任意 $f(x), g(x)\in W$, 有 $f(x)+g(x)\in W$. 
\item  对任意 $k\in \mathbb{R}$, $f(x)\in W$, 有 $kf(x)\in W$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.8. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子7：考虑定义在闭区间 $[a,b]$ 上的实值连续函数全体组成的集合
\begin{eqnarray*}
 V=\{ f:[a,b]\to\mathbb{R} \mid f \text{ 是连续函数}  \}. 
\end{eqnarray*}
则可微函数全体组成的集合
\begin{eqnarray*}
 W=\{ f:[a,b]\to\mathbb{R} \mid f \text{ 是可微函数}  \}
\end{eqnarray*}
是 $V$ 的子集。在函数的加法与数乘运算下，$W$ 是 $V$ 的向量子空间。

\item  验证：

\begin{enumerate}
\item  子集 $W$ 不是空集。
\item  对任意 $f,g\in W$, 有 $f+g\in W$. 
\item  对任意 $k\in \mathbb{R}$, $f\in W$, 有 $kf\in W$. 
\end{enumerate}

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.9. 子空间的交集}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}
\item {\color{red}定义：设 $W_1$ 与 $W_2$ 是向量空间 $V$ 的两个子空间。则交集 $W_1\cap W_2$ 也是 $V$ 的一个子空间，称为交子空间，或交空间。}

\item  验证：
\begin{enumerate}
\item  子集 $W_1\cap W_2$ 不是空集。
\item  对任意 $\alpha,\beta\in W_1\cap W_2$, 有 $\alpha+\beta\in W_1\cap W_2$. 
\item  对任意 $k\in F$, $\alpha\in W_1\cap W_2$, 有 $k\alpha\in W_1\cap W_2$. 
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}


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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.10. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item 例子8：在立体空间里，$xy$平面与 $xz$ 平面的交集为 $x$ 轴。

\item 代数描述： 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
W_1 &=& \{ (x,y,0) \,:\, x,y\in\mathbb{R}  \}. \\
W_2 &=& \{ (x,0,z) \,:\, x,z\in\mathbb{R}  \}. \\
W_1\cap W_2 &=& \{ (x,0,0) \,:\, x\in\mathbb{R}  \}. 
\end{eqnarray*}
}

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.11. 子空间的和集}

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  {\color{red}定义：设 $W_1$ 与 $W_2$ 是向量空间 $V$ 的两个子空间。则符号 $W_1+W_2$ 定义为 $V$ 的这样一个子集，
\begin{eqnarray*}
W_1+W_2 = \{ \alpha + \beta \mid \alpha\in W_1, \beta\in W_2 \}. 
\end{eqnarray*}
即由分别属于这两个子空间的任意两个向量的和组成的集合。则可证 $W_1+W_2$ 是 $V$ 的子空间，称为 $W_1$ 与 $W_2$ 的和子空间，或和空间。}

\item  验证：
\begin{enumerate}
\item  子集 $W_1+W_2$ 不是空集。
\item  对任意 $\alpha,\beta\in W_1+W_2$, 有 $\alpha+\beta\in W_1+W_2$. 
\item  对任意 $k\in F$, $\alpha\in W_1+W_2$, 有 $k\alpha\in W_1+W_2$. 
\end{enumerate}


\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.12. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子9：在立体空间里，$x$ 轴与 $y$ 轴的和子空间为 $xy$ 平面。

\item 代数描述： 
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
W_1 &=& \{ (x,0,0) \,:\, x\in\mathbb{R}  \}. \\
W_2 &=& \{ (0,y,0) \,:\, y\in\mathbb{R}  \}. \\
W_1 + W_2 &=& \{ (x,y,0) \,:\, x,y\in\mathbb{R}  \}. 
\end{eqnarray*}
}

\item  注：两个子空间的和子空间里包含的元素，一般要比这两个子空间的并集 $W_1\cup W_2$ 所包含的元素要多。
即 $W_1\cup W_2 \subseteq W_1+W_2$. 

\item  {\color{blue}思考：什么时候会有 $W_1\cup W_2 = W_1+W_2$ 呢？}


\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.13. }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{itemize}

\item  例子10：当 $W_1=\{\theta\}$ 时，有 $W_1\cup W_2 = W_1+W_2$. 
\item  证明：
\begin{enumerate}
\item  验证 $W_1\cup W_2 = W_2$. 
\item  验证 $W_1+W_2 = W_2$. 
\end{enumerate}

\item  例子11：当 $W_1 \subseteq W_2$ 时，有 $W_1\cup W_2 = W_1+W_2$. 

\item  证明：验证两边都等于 $W_2$.

\end{itemize}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.14. 课堂练习 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item   判断实数行向量空间 $V=\mathbb{R}^4$ 中的下述子集是不是向量子空间。
\begin{enumerate}
\item   $S_1 = \{(a_1,0,0,a_4) \mid a_1,a_4\in\mathbb{R} \}$. 
\item   $S_2 = \{(a_1,a_2,a_3,a_4)\in V \mid a_1+a_2+a_3+a_4=0 \}$. 
\item   $S_2 = \{(a_1,a_2,a_3,a_4)\in V \mid a_1+a_2+a_3+a_4=1 \}$. 
\item   $S_2 = \{(a_1,a_2,a_3,a_4)\in V \mid a_i\in\mathbb{Z}, i=1,2,3,4 \}$. 
\end{enumerate}


\item  记 $V=M_2(\mathbb{R})$ 是实数二阶矩阵全体组成的集合，在矩阵的加法与数乘运算下成为一个实向量空间。
记 $V$ 的两个子集 $S$ 与 $T$ 如下，
{\footnotesize 
\begin{eqnarray*}
S = \{A\in M_2(\mathbb{R}) \mid A^t=A\}, \hspace{0.2cm} 
T = \{A\in M_2(\mathbb{R}) \mid A^t=-A\}. 
\end{eqnarray*}
}
证明：
\begin{enumerate}
\item  子集 $S$ 和 $T$ 都是 $V$ 的向量子空间。
\item   交空间 $S\cap T$ 是 $V$ 的零子空间。
\item   和空间 $S+T$ 是 $V$ 的全子空间。
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{frame}

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%\begin{frame}[fragile=singleslide]{3.1.1. }
\begin{frame}{17.15. 课堂练习答案 }

\vspace{-0.4cm}\noindent\makebox[\linewidth]{\rule{\paperwidth}{0.4pt}}
%每页详细内容

\begin{enumerate}

\item  答案：
\begin{enumerate}
\item  是。
\item  是。
\item  否。
\item  否。
\end{enumerate}

\item  证明思路：
\begin{enumerate}
\item  验证子集 $S$ 和 $T$ 在矩阵的加法和数乘运算下都是封闭的。
\item  设 $A\in S\cap T$. 证明 $A$ 只能是零矩阵。
\item  设 $A\in M_2(\mathbb{R})$. 证明存在 $B\in S$ 与 $C\in T$ 使得 $A=B+C$. 
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\end{frame}


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\end{document}


